Deze machine maakt het veel makkelijker om wiskundige stellingen te bedenken

In de wiskunde is een vermoeden een uitspraak waarvan deskundigen denken dat-ie klopt, maar waar nog geen sluitend bewijs voor is. Dat klinkt op zich logisch, maar wiskundige vermoedens kunnen heel gedetailleerd zijn, en lastig te formuleren. Het moet diepgaand genoeg zijn om nieuwsgierigheid te wekken, maar ook weer niet zo obscuur dat je ervan gaat duizelen. Als er eenmaal bewijs is geleverd, dan mag het vermoeden een stelling worden genoemd – zoals de laatste stelling van Fermat.

Om vermoedens te formuleren kun je heel lang met allemaal getalletjes gaan priegelen, maar een groep onderzoekers van het Technion in Israël en Google in Tel Aviv heeft de afgelopen tijd een geautomatiseerd systeem ontwikkeld dat dit ook kan doen. Ze noemden het de Ramanujan Machine, vernoemd naar Srinivasa Ramanujan, de grotendeels autodidactische Indiase wiskundige die duizenden innovatieve formules in de getaltheorie heeft ontwikkeld. Het softwaresysteem heeft nu al zelf een paar belangrijke vermoedens opgesteld voor universele constanten die in de wiskunde voorkomen. Het werk van de onderzoekers werd afgelopen maand gepubliceerd in het wetenschappelijk tijdschrift Nature.

Met een van de formules die al uit de Machine is gerold, kan de waarde van Catalan-getallen efficiënter worden berekend dan eerst mogelijk was met formules die door mensen zijn opgesteld. De onderzoekers zeggen echter dat de Ramanujan Machine niet bedoeld is om de wiskunde volledig over te nemen, maar om wiskundigen te ondersteunen.

Zoals de onderzoekers in hun artikel uitleggen, kan de hele wiskunde grofweg worden onderverdeeld in twee processen: dingen vermoeden en dingen bewijzen. Als er meer vermoedens worden aangeleverd, is dat erg handig voor wiskundigen – zij kunnen zich dan namelijk meer focussen op het bewijzen en uitleggen van die vermoedens.

Dat wil overigens niet zeggen dat de onderzoekers niet ambitieus zijn. In het artikel staat dat ze met de Ramanujan Machine “pogen om de wiskundige intuïtie van grote wiskundigen te vervangen, en aanknopingspunten te bieden voor verder wiskundig onderzoek.”

Het systeem formuleert vermoedens om de waarde van specifieke getallen te berekenen die ook wel universele constanten worden genoemd. De beroemdste van die constanten is pi, die staat voor de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Pi kan ‘universeel’ genoemd worden omdat het overal in de wiskunde opduikt, en ‘constant’ omdat het voor elke cirkel dezelfde waarde heeft – ongeacht de grootte van de cirkel.

De Ramanujan Machine produceert vermoedens voor de waarde van universele constanten als pi, die geschreven worden in formules die kettingbreuken worden genoemd. Kettingbreuken zijn gewone breuken, maar dan zo ingewikkeld dat je er draaierig van wordt. De noemer van een kettingbreuk bevat namelijk de som van twee termen, waarvan de tweede zelf een breuk is, waarvan de noemer zelf ook weer een breuk bevat, en dat dan tot in het oneindige – ben je er nog?

Wiskundigen zijn al heel lang gefascineerd door kettingbreuken, en de eigenaardige combinatie van eenvoud en diepzinnigheid die erbij komt kijken. Ze zijn bovendien nuttig om fundamentele eigenschappen van de constanten te achterhalen, schreven Robert Dougherty-Bliss en Doron Zeilberger van de Rutgers-universiteit in 2020.

De Ramanujan Machine is opgebouwd uit twee primaire algoritmen die erg pietje-precies bezig zijn met het ontdekken van kettingbreuken die gelijk lijken te zijn aan universele constanten. Die mate van precisie is belangrijk, want anders zouden de vermoedens gemakkelijk opzij geschoven kunnen worden en dus weinig waarde hebben.

Elk vermoeden uit de Machine heeft de vorm van een vergelijking. Het idee is dat de waarde aan de linkerkant van het gelijkheidsteken (=), een formule met een universele constante, gelijk is aan de waarde aan de rechterkant, een kettingbreuk.

Om tot zo’n vermoeden te komen, kiest het algoritme willekeurige universele constanten voor de linkerkant en willekeurige kettingbreuken voor de rechterkant. Daarna berekent het systeem elke kant afzonderlijk, tot op een bepaalde nauwkeurigheidsgraad. Als de twee kanten gelijk lijken te zijn, wordt er nóg nauwkeuriger naar gekeken, om er zeker van te zijn dat hun gelijkheid geen toeval is. Belangrijk daarbij is dat er al formules bestaan om de waarde van universele constanten als pi tot op een willekeurige nauwkeurigheid te berekenen, dus om te controleren of allebei de kanten gelijk zijn is eigenlijk alleen rekentijd nodig.

Waarom dit alles zo fantastisch is? Voordat er zulke algoritmes als deze beschikbaar waren, moesten wiskundigen bestaande wiskundige kennis en stellingen gebruiken om een vermoeden te formuleren. Maar deze geautomatiseerde vermoedens stellen ze misschien in staat om nog verborgen stellingen terug te rekenen of juist knappere vermoedens te formuleren, zoals Dougherty-Bliss en Zeilberger al hebben laten zien.

Tot nu toe is de opvallendste ontdekking van de onderzoekers echter geen verborgen kennis, maar een nieuw vermoeden. Namelijk: een die het mogelijk maakt om de constante van Catalan snel met een computer te berekenen, een universele constante waarvan de waarde belangrijk is voor veel wiskundige problemen.

Het vermoeden heeft de vorm van een kettingbreuk, waardoor de constante van Catalan sneller dan ooit berekend kan worden. Met vroegere formules duurde het veel langer om die door de computer te loodsen. Dit lijkt vooralsnog een nieuw hoogtepunt voor de computer te zijn – een beetje zoals de eerste keer dat een computer een schaakmeester wist te verslaan. Maar dan in een heel ander soort spel: het opstellen van vermoedens.

Dit artikel verscheen oorspronkelijk bij VICE UK.

Volg VICE België en VICE Nederland ook op Instagram.